Números enteros Z

Los números enteros están formados por los números naturales o números enteros positivos, que son los primeros que aprendemos en la escuela, más los números enteros negativos que son los opuestos a los positivos y el cero que es neutro, eso significa que no es negativo ni positivo.

 

El la práctica a los números enteros positivos no se los escribe precedidos por el signo.

Como se ordenan:

El orden de los números enteros negativos es contrario al de los números enteros positivos o naturales ya que estos van de menor a mayor de izquierda a derecha mientras que los números enteros negativos van de menor a mayor de derecha a izquierda en otras palabras cuanto más a la izquierda del cero se ubica, menor es el número negativo.

 Números enteros en la recta numérica

Los números enteros negativos se ubican a la izquierda del cero en la recta numérica, hacia la izquierda del 0 llegan hasta el infinito, igual que una semirrecta tienen un punto de origen pero no tienen fin.

 

Suma de números enteros Z

Para realizar una suma de dos números enteros que tienen distinto signo, lo que hacemos es al que tiene mayor valor absoluto restarle el de menor valor absoluto y luego colocarle el signo del que tenía el mayor valor absoluto.

Ejemplo:

Números enteros división, regla de los signos

Para la división de números enteros existe una regla de signos que es la que me indica que signo tendrá el cociente de la división de un número entero por otro.

La regla de los signos dice que si dividimos dos números enteros del mismo signo, el cociente será positivo y si dividimos dos números enteros que tengan distintos signos, el cociente será negativo.

 

1) Si dividimos un número positivo por otro positivo el cociente será positivo.

2) Si dividimos  un número negativo por otro positivo el cociente  será negativo.

3) Si dividimos un número positivo por otro negativo el cociente será negativo.

4) Si dividimos un número negativo por otro negativo el cociente será positivo.

 

 

Números enteros multiplicación, regla de los signos

Para la multiplicación de números enteros existe una regla de signos que es la que me indica que signo tendrá el producto de la multiplicación de un número entero por otro.

La regla de los signos dice que si multiplicamos dos números enteros del mismo signo, el producto sera positivo y si multiplicamos dos números enteros que tengan distintos signos, el producto de ambos será negativo.

 

1) Si multiplicamos un número positivo por otro positivo el producto será positivo.

2) Si multiplicamos un número negativo por otro positivo el producto será negativo.

3) Si multiplicamos un número positivo por otro negativo el producto será negativo.

4) Si multiplicamos un número negativo por otro negativo el producto será positivo.

Potenciación y radicación de números naturales

Potenciación de números naturales

La potenciación es una multiplicación abreviada, en la que tenemos un número que es la base y otro, que se escribe más pequeño y en la parte superior derecha, llamado exponente, que nos indica cuantas veces debo multiplicar el número que aparece como base, por sí mismo. Al producto que resulta de multiplicar la base por ella misma, tantas veces como nos indica el exponente, se lo llama potencia.

Nombre de las partes de una potencia

 

Si el exponente es 2 significa que la base debe multiplicarse por sí misma dos veces y se dice que el número base es elevado al cuadrado, cuando el exponente es 3, significa que la base debe multiplicarse por ella misma tres veces y se dice que la base es elavada al cubo, luego cuando el exponente es 4 o 5 se dice que la base es elevada a la cuarta o quinta potencia y asi sucesivamente.

Ejemplos:

 

Radicación de números naturales

La radicación es una división abreviada, también es una operación inversa a la potenciación.

 Cuando representamos una radicación escribimos un número que es el radicando, colocamos sobre él el signo de raiz, luego en la parte superior izquierda del signo de raiz se escribe el indice y al resultado de la operación se lo llama raiz.

Para resolver una operación de radicación debemos hallar el número que elevado a la potencia,  las veces que nos indica  el indice de la raiz, nos dé como resultado el radicando.

Partes de la radicación

 

Raíz cuadrada de un número natural

Cuando el indice de una raíz es 2 no se escribe el número, pero se entiende que el espacio vacío en el lugar del indice es un 2 y se dice que la raíz es cuadrada.         

Para resolver la operación tenemos que encontrar el número que elevado a la segunda potencia o al cuadrado nos de como resultado el radicando.

Ejemplo:

Raíz cúbica

Cuando una raíz tiene como indice al número 3, se dice que la raiz es cúbica y para resolver la operación debemos encontrar el número que elevado al cubo nos dé como resultado el radicando.

Ejemplos:

 

 

Múltiplo común menor por factoreo

Para hallar el mcm de dos o más números por factoreo debemos primero descomponer cada uno de los números dividiéndolos sucesivamente por factores que sean números primos, comenzando por el 2, si es posible, o por uno mayor que éste, pero siempre tratar de dividir por el menor número primo posible.

Para hallar el mcm de 16 y 24 debemos descomponer cada uno de estos números en sus factores primos.

 Para descomponer el número 16 seguimos los siguientes pasos:

1) Dividimos el número 16 por el número 2  y nos da 8 como cociente.

 2) Como 8 es divisible por 2 , lo dividimos y nos da un cociente de 4.

 3) El número 4 es divisible por 2, asi que lo dividimos y nos da 2.

4) Al final el número 2 puede ser dividido por sí mismo  y nos da 1 como cociente.

 

 

Para descomponer el número 24  realizamos los siguientes pasos:

1) Dividimos el número 24 por el número primo más chico por el cual puede ser dividido y nos da como  cociente 12.

2) Dividimos el número 12 por el 2 y nos da 6 como cociente. 3) Dividimos el número 6 por el 2 y nos da 3 como cociente. 4) Como no podemos dividir el número 3 por el 2 , lo dividimos por el número primo mayor siguiente de 2 que en este caso es el 3.

 

      

Una vez descompuesto ambos números en sus factores primos me fijo cuantas veces se repiten como máximo, como divisor de  un número,  el mismo número primo.

Escribo los distintos números primos que aparecen y los elevo a la potencia equivalente a la mayor cantidad de veces que aparece como divisor de uno de los números.

         

Resuelvo las potencias y luego las multiplico entre ellas para obtener el mcm de 16 y 24.

             

 

 

Números primos y compuestos

Los números primos son aquellos números que solo pueden ser divididos por 1 y por sí mismos y como resultado obtener una división exacta.

Ejemplo:

             

       

 

Son números compuestos todos aquellos números que además de poder ser divididos por 1, por sí mismos, es posible dividirlos por otro u otros números más y obtener como resultado un cociente exacto.

Ejemplo:

Números primos y compuestos hasta 100.

Los números 0 y 1 no son considerados ni primos ni compuestos.

 

En la siguiente tabla vemos representados  con color rojo los números primos, con azul los números compuestos menores que 100 y con color negro los números 0 y 1 que no son ni primos ni compuestos.

Divisor común mayor o máximo común divisor (dcm o mcd)

Para hallar el dcm (divisor común mayor) o mcd (máximo común divisor) de dos o más números, primero buscamos todos los divisores de los números dados, por ejemplo de 24 y 32.

       

Luego de obtener los divisores de los números, nos fijamos cuales se repiten o sea que son comunes para los dos números.

 

 Por último nos fijamos entre los divisores que se repiten, o sea que son comunes en ambos números, cual de ellos es el mayor y ese será entonces el mcd o dcm de los números dados, en este caso 24 y 32, como vemos es 8.

 

Sustracción o resta de números naturales

Cuando a una cantidad le quitamos una parte estamos realizando una operación Matemática de sustracción o resta.

Nombre de las partes de la resta

        

        

 1) Una operación de sustracción o resta se nos puede presentar de forma horizontal en la que el primer número es el minuendo y el segundo el sustraendo.

2) Para facilitar la operación de sustracción debemos ordenar en forma vertical y para ello primero el valor posicional de las cifras.

3) Colocamos el sustraendo debajo del minuendo, respetando que las unidades queden ubicadas una debajo de la otra.

 4) A las unidades del minuendo le restamos las unidades del sustraendo y el resto lo colocamos debajo de las unidades.

5) Por último repetimos la operación con las decenas y colocamos la diferencia o resto debajo de la columna de las decenas.

 

Sustracción o resta de números naturales con dificultad

Muchas veces la operación de sustracción presenta dificultades cuando la cifra del minuendo es menor que la del sustraendo y se debe tomar una unidad de la cifra  que está a la izquierda.

En el ejemplo siguiente resolveremos paso a paso una operación de sustracción o resta con dificultad.

1) Tenemos el minuendo y el sustraendo ubicados en forma horizontal y para facilitar la operación la ordenaremos en forma vertical.

2) Nos fijamos en las posiciones de las cifras, en este caso unidades y decenas.

3) Ubicamos el sustraendo debajo del minuendo.

4) Como la cantidad  unidades del minuendo son menores toma prestado una decena transformando asi al número 3 en 13 y las decenas que eran 5 quedan con una menos.

5) Al número 13, que se formó, ahora se le pueden quitar las 7 unidades del sustraendo.

6) Por último a las decenas del minuendo le resto las decenas del sustraendo.

 

Suma o adición de números naturales

Cuando agrupamos o reunimos distintas cantidades estamos realizando una operación Matemática de adición o suma.

Nombre de las partes de la adición o suma:

 

 

Para realizar un operación de adición o suma de números naturales, debemos seguir los siguientes pasos:

1) La operación que tratamos de resolver puede aparecer escrita en forma horizontal y tener  dos o más sumandos.

2) Antes de ordenar en forma vertical, para facilitar la operación de adición o suma de los números naturales, debemos identificar el valor posicional de cada cifra, en este caso unidades, decenas y centenas.

3) Ordenamos los sumandos en forma vertical respetando que las unidades queden alineadas una debajo de las otra.

 

4) Sumamos la unidades y si la suma de las mísmas nos da un número de dos cifras colocamos la unidad debajo de las demás unidades y la decena la ubicamos por encima de las demás decenas.

5) Al sumar la columna de las decenas comenzamos sumando la cifra que pusimos por encima en la operación con las demás decenas.

6) Luego sumamos las centenas, pero como en este caso solo tenemos un número, lo volvemos a escribir debajo de la columna de las centenas.

 

División de números naturales.

La división es una operación matemática que consiste en una resta abreviada, ya que lo que se busca es saber cuantas veces cabe un número dentro de otro y además la división es una operación contraria o inversa a la multiplicación.

 

Nombre de las partes de la división

Dividendo: es el número al cual queremos dividirlo y en una división de números naturales debe ser igual o mayor que el divisor´

Divisor: es el número por el cual queremos dividir al dividendo, en otras palabras el número que queremos saber cuantas veces cabe en el dividendo.

Cociente: es el resultado de la división y nos dice cuantas veces entra el divisor dentro del dividendo.

Resto: también llamado residuo nos dice cuanta cantidad nos sobra después de haber dividido el dividendo por el divisor . Si el resto es 0 la división es exacta.

 

División de números naturales por

una cifra con la resta escrita

1) Cuando queremos ralizar una operación de división tenemos la opción de hacerlo escribiendo las restas o no, por lo que en esta operación la escribiré para que sea más ilustrativa, además de sencilla su interpretación.

2) Como es una división por una cifra, primero nos fijamos la primer cifra a la izquierda del divididendo, si es igual o mayor que el divisor, podemos comenzar a dividir por esa cifra pero si es menor debemos tomar los dos primeros números de la izquierda del dividendo. Como en este caso 2 es igual que 2, lo dividimos y nos da un cociente de 1, para comprobar hacemos la operación inversa que es la multiplicación multiplicando el cociente por el divisor, luego el producto le restamos al número del dividendo que hemos dividido.

3) Para continuar dividiendo, bajamos el siguiente número del dividendo y lo colocamos a la derecha del resto y si este resto fuera un número mayor que cero, se nos formaría un número de dos digitos.

 

4) El número que bajamos lo dividimos por el divisor y nos da un cociente de 3, luego multiplicamos el divisor por el cociente y el producto lo restamos al números que hemos dividido y en este caso nos da un resto de 1 por lo que esta división no es exacta.

 

División de números naturales por una cifra, sin la resta escrita

La misma operación realizada anteriormente se la puede resolver sin escribir las restas, poniendo solamente las diferencias debajo de los números que se van dividiendo.

   

División de números naturales por dos cifras

1) Cuando queremos ralizar una operación de división, en este caso por dos cifras,  podemos hacerlo escribiendo las restas o no, por lo que en esta operación la escribiré para que sea más sencilla su interpretación.

2) Como es una división por dos cifras, primero nos fijamos en las dos primeras cifras a la izquierdas del divididendo, si son iguales o mayores que el divisor podemos comenzar a dividir por esas cifras, pero si son menores  debemos tomar los tres primeros números de la izquierda del dividendo. Como en este caso 47 es mayor  que 15 lo dividimos y nos da un cociente de 1, para comprobar hacemos la operación inversa que es la multiplicación, multiplicando el cociente por el divisor, luego el producto le restamos al número del dividendo que hemos dividido.

3) Para continuar dividiendo, bajamos el siguiente número del dividendo y lo colocamos a la derecha del resto y si este resto fuera un número mayor que cero, se nos formaría un número de dos o tres cifras.

 

 

4) El número 23 que se formó, cuando bajamos 3, lo dividimos por el divisor 15  y nos da un cociente de 1, luego multiplicamos el divisor por el cociente y el producto lo restamos al número que hemos dividido y en este caso nos da un resto de 8 por lo que esta división no es exacta.

                        

División de números naturales por tres cifras

1) Cuando queremos realizar una operación de división, en este caso por tres cifras,  podemos hacerlo escribiendo las restas o no, por lo que en esta operación la escribiré para que sea más sencilla su interpretación.

2) Como es una división por tres cifras, primero nos fijamos en las tres primeras cifras a la izquierdas del divididendo, si son iguales o mayores que el divisor podemos comenzar a dividir por esas cifras, pero si son menores  debemos tomas los cuatro primeras cifras de la izquierda del dividendo. Como en este caso 542 es mayor  que 143 lo dividimos y nos da un cociente de 3, para comprobar hacemos la operación inversa que es la multiplicación, multiplicando el cociente por el divisor, luego el producto le restamos al número del dividendo que hemos dividido.

3) Para continuar dividiendo, bajamos el siguiente número del dividendo y lo colocamos a la derecha del resto y si el resto fuera un número mayor que cero, se nos formaría un numero de tres o cuatro cifras.

 

4) El número que se formó cuando bajamos, en este caso el 6,  lo dividimos por el divisor y nos da un cociente de 7, luego multiplicamos el divisor por el cociente y el producto lo restamos al número que hemos dividido y en este caso nos da un resto de 136, por lo que esta división no es exacta.