Se llama ángulo al
espacio del plano que se encuentra entre dos líneas que comienzan en un mismo
punto de origen.
Los ángulos pueden
ser expresados de las siguientes maneras:
Clasificación de los ángulos
De acuerdo a la
amplitud que tengan los ángulos se clasifican de la siguiente manera:
Nulo cuando su apertura
es de 0º sexagesimales.
Agudo cuandosu apertura o amplitud es menor de 90º
sexagesimales.
Recto cuandosu apertura o amplitud es igual a 90º
sexagesimales.
Obtuso cuando su apertura o
amplitud es superior a 90º sexagesimales.
Llano cuando su apertura o
amplitud es igual a 180º sexagesimales.
Ángulos consecutivos, adyacentes y opuestos por
el vértice
Dos ángulos se llaman
consecutivos cuando tienen uno de sus lados y el vérticeen común, en este caso vemos trespares de ángulos consecutivos y en cada uno
de ellos vemos que comparten el lado
ángulos complementarios y suplementarios
Dos ángulos son complementarios
cuando además de ser consecutivos la suma de sus aperturas o amplitudes nos
da 90º o sea un ángulo recto.
Dos ángulos son
suplementarios cuando además de ser consecutivos la suma de sus amplitudes
nos da 180º o sea un ángulo llano.
Tambiénlos ángulos suplementarios son adyacentes porque
tienen uno de sus lados como semirrectas opuestas, en este caso la semirrecta es opuesta a
la semirrecta .
Ángulos opuestos por el vértice
Cuando dos rectas de
un mismo plano se cortan en un punto, este punto pasa a ser el vértice de
cuatro ángulos, de los cuales dos pares son opuestos por el vértice.
Los ángulos que son
opuestos por el vértice son iguales entre ellos y el vértice es el único punto
que tienen en común.
Ejemplos: el ángulo es opuesto e
igual al ángulo y el ángulo es opuesto e
igual al ángulo .
Ángulos convexos
Los
ángulos convexos son los que su apertura o amplitud es mayor de 0º y menor
que 180º.
Cuando dos rectas se cortan en un mismo plano
forman cuatro ángulos convexos.
Ángulo
cóncavo
Cuando un ángulo tiene la apertura o amplitud
mayor que 180º es un ángulo cóncavo.
Bisectriz
La bisectriz de
un ángulo es una semirrecta que tiene su origen en el mismo vértice y pasa por
el medio dividiéndolo en partes iguales.
La palabra
“geometría” proviene de dos palabras griegas “geo” que significa Tierra y
“metría o metrón” que significa medir, por lo tanto “Geometria” quiere decir “Medir
la Tierra”.
Conceptos
fundamentales de geometría
La Geometría tiene
tres conceptos fundamentales, o primitivos, a los que no se los define, sino
que se los acepta ya que son la base sobre la cual se desarrolla la mísma.
Estos conceptos fundamentales son: “Punto”, “Recta” y “Plano”.
Punto
El punto geométrico pertenece
al mundo de las ideas, nos indica una posición en el espacio pero no tiene
dimensión, eso significa que no tiene altura, ancho ni longitud. Se lo
representa con una marca de lápiz o tiza y se lo nombra con una letra imprenta
mayúscula.
Recta
La recta es una línea
de puntos que están en un mismo plano, van en la misma dirección y la única
dimensión que tienen es la longitud que va desde y hasta el infinito. Se
representa en Geometría, una parte de ella y se la nombra con una letra
imprenta minúscula.
Semirrecta
Cuando a una recta se
la corta en un punto, se forman dos semirrectas que se originan en ese punto y
van en sentido contrario hasta el infinito. En otras palabras las semirrectas
tienen principio pero no tienen fin.
Segmento
Si a una recta, en
este caso t, lacortamos en dos puntos A
y B tendremos un segmento de ella.
Rectas Paralelas
Cuando dos rectas, en
este caso a y b están en un mismo plano pero no se cortan, se llaman
“paralelas”. Por lo tanto las rectas paralelas no tienen puntos en común.
Rectas perpendiculares
Si dos rectas, en este caso a y b, están en un
mismo plano y se cortan formando cuatro angulos rectos, de 90º, se llaman rectas
perpendiculares.
Rectas
oblicuas
Dos rectas son oblicuas cuando están en un mismo
plano y al cortarse en un determinado punto forman dos águdos agudos opuestos
entre ellos y dos ángulos obtusos también opuestos entre sí.
Plano
Para representar al
plano se representa una parte de él y se lo nombra con una letra griega.
Semiplano:
Todas las rectas
dividen al plano en donde se encuentran, en dos semiplanos.
1) Para resolver una
operación de división de un número decimal poruna cifra, nos fijamos si la primer cifra izquierda de la parte entera
es igual o mayor que el divisor para comenzar a dividir, como en este caso es
mayor se puede dividir, luego:
2) Divido el número 5
por el divisor que es 3, obtengo como cociente 1 y como resto 2.
3) Para continuar
dividiendo después de la coma en el dividendo, coloco una coma en el cociente y
continúo dividiendo los números que están a la derecha de la coma, para ello
bajo el número cuatro.
4) Divido el número
24 por el divisor 3 y obtengo como cociente 8, que lo coloco en el lugar de los
décimos .
5) Multiplico el
cociente por el divisor, realizo la resta y después bajo el próximo número del
dividendo que es el 5.
6) Divido el número 5
por 3 y coloco el cociente 1, pero como al finalizar la operación me queda un
resto de 2, si deseo continuar dividiendo puedo hacerlo agregándole ceros y de
esa manera obtener más cifras decimales en el cociente.
División por dos cifras con coma en el dividendo
1) Para dividir un número
decimal por dos cifras, nos fijamos si las dos primeras cifras izquierdas de la
parte entera son iguales o mayores que el divisor para comenzar la operación,
como en este caso hay solo dos cifras, en la parte entera del número decimal, y
son mayores se puede dividir.
2) Divido el número
47 por el divisor 15, me da como cociente 3 y un resto de 2.
3) Para continuar y como el próximo número que
debo bajar para dividir está en la parte fraccionaria o decimal, debo colocar
primero la coma en el cociente y recién ahí bajar el número, que en este caso
es el 5 y con el resto de 2 forman el número 25.
4) Divido el número
25 por el divisor 15, escribo el cociente 1 a la derecha de la coma y me queda
un resto de 10.
5) Bajo el número 3
del dividendo y con el resto de 10 que tenía forman el número 103.
6) Divido el número
103 por el divisor 15, escribo el cociente 6 y me queda un resto de 13.
Si en esta operación
se desea obtener más cifras decimales se le deben agregar ceros a los restos
que se van obteniendo y se continúa dividiendo.
División por dos cifras con coma en el divisor
1) Una división
decimal de dos cifras se nos puede presentar de tres formas, con el dividendo
decimal, con el divisor decimal o ambos
ser números decimales. En el siguiente ejercicio vemos que el divisor es un número
decimal.
2) Antes de comenzar a
dividir debemos observar cuantos espacios a la derecha de la coma tiene el
divisor para agregarle esa misma cantidad de ceros al dividendo y luego
suprimir la coma.
3) Ahora dividimos
como cualquier división de números naturales: tomo los dos primeros números a
la izquierda del dividendo, ya que son mayores que el divisor, coloco el
cociente 1 y me queda un resto de 12.
4) Bajo el número 4
del dividendo y con el resto de 12 forman el número 124, lo divido por 23,
coloco el cociente 5, realizo la resta y me sobra 9.
5) Bajo el 0 y con el
resto 9 forman el número 90 que al dividir por el divisor 23 da un cociente de
3 y un resto de 21.
Si en esta operación
se desea obtener más cifras decimales se le deben agregar ceros a los restos
que se van obteniendo y se continúa dividiendo.
División con coma en el dividendo y el divisor
1) Una división
decimal de dos cifras se nos puede presentar de tres formas diferentes, con el
dividendo decimal, con el divisor decimal
o ambos ser números decimales. En el siguiente ejercicio vemos una
división en donde ambos números son decimales, también conocida como división
con dos comas por dos cifras.
2) Para comenzar a
dividir debo por lo menos suprimir la coma del divisor y para ello cuento los espacios
que tiene el divisor a la derecha de la coma y esa misma cantidad de espacios,
corro hacia la derecha la coma del dividendo, quedando de esta manera suprimida
la coma del divisor, dado que si la tuviera que colocar quedaría 37,0 que es
equivalente a 37.
En otras palabras
cuando en una división con dos comas corremos una cantidad de espacio la coma
en el divisor, debemos correr esa misma cantidad en el dividendo o viceversa.
3) Para comenzar a
dividir tomo los dos únicas cifras de la parte entera del dividendo, que como
son mayores que el divisor la puedo dividir dándome un cociente de 1 y un resto
de 12.
4) Antes de bajar la
primer cifra decimal para continuar dividiendo debo colocar la coma en el
cociente.
5) Divido el número
123, que se me formó por el divisor 37, coloco el cociente 3 y el resto 12.
Si en esta operación
se desea obtener más cifras decimales se le deben agregar ceros a los restos
que se van obteniendo y se continúa dividiendo.
División de números decimales por tres cifras,
con coma en el dividendo
1) Para dividir un número
decimal por tres cifras, nos fijamos si las tres primeras cifras izquierdas de
la parte entera son iguales o mayores que el divisor para comenzar la operación,
como en este caso hay solo tres cifras, en la parte entera del número decimal,
y son mayores se puede dividir.
2) Divido el número
349 por el divisor 137, me da como cociente 2 y un resto de 75.
3) Para continuar y
como el próximo número del dividendo que debo bajar para dividir está en la
parte fraccionaria o decimal, debo colocar primero la coma en el cociente y
recién ahí bajar el número que en este caso es el 7 y con el resto de 75 forman
el número 757.
4) Divido el número
757 por el divisor 137, escribo el cociente 5 a la derecha de la coma y me
queda un resto de 72.
Si en esta operación
se desea obtener más cifras decimales se le deben agregar ceros a los restos
que se van obteniendo y se continúa dividiendo.
División de números decimales por tres cifras,
con coma en el divisor
1) Una división
decimal de tres cifras se nos puede presentar de tres formas, con el dividendo
decimal, con el divisor decimal o ambos
ser números decimales. En el siguiente ejercicio vemos que el divisor es un número
decimal.
2) Antes de comenzar
a dividir debo observar cuantos espacios a la derecha de la coma tiene el
divisor para agregarle esa misma cantidad de ceros al dividendo y luego
suprimir la coma del divisor.
3) Ahora divido como
cualquier división de números naturales, tomo los tres primeros números a la
izquierda del dividendo ya que son mayores que el divisor, coloco el cociente 2
y me queda un resto de 28.
4) Bajo el número 0
del dividendo y con el resto 28 forman
el número 280, lo divido por 214, coloco el cociente 1, realizo la resta y me
sobra 66.
5) Bajo el último 0
del dividendo y con el resto 66 forman el número 660 que al dividir por el
divisor 214, da un cociente de 3 y un resto de 18.
División de números decimales o división por
tres cifras, con dos comas
1) Una división
decimal de tres cifras, se nos puede presentar de tres formas diferentes, con
el dividendo decimal, con el divisor decimal
o ambos ser números decimales, en otras palabras es una división de
decimal por decimal.
En el siguiente ejercicio
vemos una división en donde ambos números son decimales o división con dos
comas por tres cifras.
2) Para comenzar a
dividir debo por lo menos suprimir la coma del divisor y para ello cuento los
espacios que tiene el divisor a la derecha de la coma y esa misma cantidad de
espacio, corro hacia la derecha la coma del dividendo, quedando de esta manera
suprimida la coma del divisor, dado que si la tuviera que escribirla quedaría
243,0 que es equivalente a 243.
En otras palabras,
cuando en una división con dos comas corremos una cantidad de espacio la coma
en el divisor, debemos correr esa misma cantidad en el dividendo o viceversa,
como en este caso el dividendo tenía un solo espacio a la derecha de la coma
debo agregar un 0.
3) Para comenzar a
dividir tomo las tres cifras de la izquierda del dividendo, que como son
mayores que el divisor la puedo dividir dándome un cociente de 3 y un resto de
133.
4) Luego bajo el próximo
número del dividendo, el 3, que junto con el resto 133 forman el número 1333,
lo divido por el divisor 243, me da un cociente de 5 y un resto de 118.
5) Bajo el 0, que con
el resto de 118 forman el número 1180, lo divido por 243, me da un cociente de
4 y un resto de 208.
Si en esta operación
se desea obtener cifras decimales, se le debe colocar una coma en el cociente y
agregar ceros a los restos que se van obteniendo y continuar dividiendo.
Para realizar una
operación de multiplicación de números decimales por una cifra lo que debemos
hacer es multiplicar como si fuera una multiplicación de números naturales por
una cifra y luego de realizada la multiplicación contar las cifras que tiene el
multiplicando a la derecha de la coma, en el caso del ejemplo son tres lugares,
después en el producto contar los tres lugares o cifras, partiendo de la
unidad, colocar en ese lugar la coma decimal y de esta manera ya queda resuelta
la operación.
Multiplicación de números decimales o
multiplicación con coma por dos
cifras
Para realizar una
operación de multiplicación de números decimales por dos cifras lo que debemos
hacer es multiplicar como si fuera una multiplicación de números naturalesy luego de realizada la operación contar las
cifras que tienen los factores a la derecha de las comas y sumarlas, si es que
ambos factores son decimales, después en el producto contar esa cantidad de
lugares o cifras, partiendo de la unidad, colocarallí la coma decimal y de esta manera ya
queda resuelta la multiplicación decimal por dos cifras.
Un número decimal
está formado por una parte entera que está a la izquierda de la coma decimal y
una parte decimal o fraccionaria que está a la derecha de la coma decimal.
El número decimal
738,384 representa a una cantidad que está entre dos números enteros, en este
caso entre 738 y 739.
Adición de números decimales o suma de números
con coma
Para realizar la suma
de números decimales debemos ordenarlos en forma vertical, ubicando las comas
debajo de las comas, luego al finalizar la operación colocar en el resultado o
suma la coma debajo de las comas de los sumandos.
Cuando queremos realizar una suma con números decimales y uno de los
sumandos es un número entero, no tiene coma, lo que debemos hacer es colocarle
una coma y un cero a la derecha de la unidad, esto no altera el valor del
número pero nos servirá para facilitar la operación y no confundirnos.
Ejemplo:
Sustracción de números decimales o resta de
números con coma
Para realizar una
operación de sustracción o resta de números decimales, debemos ordenar en forma
horizontal, el sustraendo debajo del minuendo y las comas alineadas una debajo
de la otra.
En el caso que el
sustraendo tenga más cifras decimales que el minuendo, debemos igualar esos
espacios con ceros en el minuendo.
Si el sustraendo
tiene menos cifras decimales que el minuendo, estas cifras faltantes equivalen
a cero.
